智能制造技术一阶谓语命题(一阶逻辑简介)

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小石头/编

（由于，在科普数学过程中，会经常用到一阶谓词逻辑语言，所以写一篇文章，对其进行简单的介绍。这里的目标是，数学中够用，所有并不会涉及《模型论》和《证明论》部分。）

我们在日常生活中经常需要做判断，例如：

老张是狐狸公司的CEO。⑴

称这些判断句为命题。

命题常常会被验证，逻辑学要求，验证有明确的结果，即：

要么命题是真实的，要么命题是虚假的；☆

命题的验证结果被称为命题的逻辑值，显然，真（记为T）和假（记为F）是唯二的逻辑值。值为真的命题称为真命题，值为假的命题称为假命题。

注：☆含有两层意思，

排中律：命题值只能是T或F；

矛盾律：命题值不能同时是T或F；

有一些命题会包含其它命题，例如：

命题，

老张有钱并且会物理。⑵

就包括两个命题，

老张有钱；⑶老张会物理。⑷

我们称这类命题为复合命题，而不是复合命题的命题则被称为原子命题，如前面上面的⑴，⑶和⑷都是原子命题。

复合命题都是通过联词将其所包含的命题关联起来而构成的，例如，⑵是通过“...并且...”连接⑶和⑷而而成。自然语言中，有多个联词表示同一个关联关系，例如，⑵还可以写成：

老张既有钱又会物理。⑵‘

联词”既...又...“和“...并且...”都是并列关系，功能相同。为了表述的一致，我们用逻辑符号∧（称为和取）来表示“...与...”、”既...又...“、“...并且...”等。若再令,

A=⑶,B=⑷

则复合命题⑵和⑵‘可统一写成：

A∧B

这样我们就得到了逻辑语言的一个公式。除了析取外，日常交流中常用的联词还有很多，我们也对它们接引入逻辑符号来表示：

析取∨，表示“或”、”或者“、”要么...，要么..“等；否定?，表示“非”、"不是”、“并非”等；蕴含→，表示“如果...，那么...”，”若...,则...“等；等价?，表示”当且仅当“等；

比较原子命题：

老马有钱；⑶’

和⑶我们发现它们的谓语部分是相同的，只有主语不同，于是我们可以将主语替换参数x，得到：

x有钱

若令，

P(x)=x有钱，A=(3)，B=(3)'

则显然有，

P(老张)=A，P(老马)=B

称这样的P(x)为谓词。谓词也可以是多元的，例如，对⑴引入参数，得到谓词：

Q(x,y)=x是y的CEO

就是一个二元谓词。从元数来看，位引入参数化的原子命题，例如上面的A、B，可以认为是零元谓词。

注：一元谓词P(x)参数两边的括号可以省略不写，记为Px。

量词也在日常交流中常常被用到，例如：

所有人都会回死；⑸总有人是天才；⑹

我们用?（称为全称量词）表示”所有...“、”任何...“、”任意...“等，用?（称为存在量词）表示”有...“、”总有...“、”存在...“等。

注：?为Any的首字母A上下颠倒得到，?为Exist的首字母E左右翻转得到。

于是令，

P(x)=x是人，A(x)=x会死，B(x)=x是天才

则⑸和⑹分别表示为：

?x(P(x)∧A(x))⑸'

?x(P(x)∧B(x))⑹'

注：在数学中，?x(P(x)∧A(x))也被写成?x,P(x)∧A(x)，这样可以省一层括号，看着清爽。

最后，复合命题可能有多层嵌套，例如：

并非所有人都是天才

这时改写成逻辑语言时，需要使用括号进行分层，例如：

?(?x(P(x)∧B(x)))

至此，我们就得到了全部的谓词逻辑语言。

回头，再比较⑶和⑷，我们发现它们的主语都是老张，于是课将谓语参数化，得打：

老张P

这样谓词P就成了变元。这种情况，日常交流也经常遇到，例如：

老张有的，老马也有。

写成逻辑公式就是：

?P(P(老张)→P(老马))

这种将谓词作为变元的，称为高阶逻辑，而不将谓词作为变元的，就是本篇介绍的一阶逻辑，也是被数学所使用的逻辑。

站在数学的角度，联词就是集合{T,F}上的逻辑运算，由于逻辑运算的操作数只有T和F两个，于是我们可以将全运算情况罗列出来，得到如下的真值表：

从真值表中可以看出，?是一元运算，其它的都是二元运算。逻辑运算可以是任意有限元的，特别是零元运算，定义为：

恒真?=T；恒假⊥=F；

注：有些书会用?和⊥分别去记真和假。

虽然，逻辑运算多种多样，但是它们可以通过有限个联词的组合来实现，能够实现所有逻辑运算的联词集，被称为功能完全集。可以证明：

联词集{?,∨,∧,→,?}是功能完全的

这也是，为什么自然语言仅凭借它们，就可以表达所有逻辑，的原因。

观察，上面真值表中的p,q与p→q之间的逻辑关系，我们发现：

当p=T并且q=F时p→q为F；其它情况p→q都是T；

于是有：

?(p→q)=p∧?q①

进而得到：

p→q=?(?(p→q))=?(p∧?q)

这种方法称为写假法。再观察，还发现：

当p=T并且q=T时p→q为T；当p=F时p→q为T；其它情况p→q都是F；

于是可得到：

p→q=(p∧q)∨?p

这种方法称为写真法。

对于任意逻辑运算，我都可以通过，写假法或写真法，用{?,∨,∧}去实现它，例如：

p?q=?((?p∧q)∨(p∧?q))或(?p∧?q)∨(p∧q)

故，{?,∨,∧}是功能完全集。

对于p∨q和p∧q使用写假法，可分别得到：

?(p∨q)=?p∧?q

?(p∧q)=?p∨?q

这就是德摩根定律，进而分别有，

p∨q=?(?p∧?q)

p∧q=?(?p∨?q)

这说明，{?,∨}和{?,∧}也都是功能完全集。另外，由①式，有，

?(p→?q)=p∧?(?q)=p∧q

所以，{?,→}也是功能完全集。

那么，有没有一个联词的功能完全集呢？有！我们定义：

皮尔士箭头：p↓q=?(p∨q)谢弗竖：p|q=?(p∧q)

则分别有，

p∨q=??(p∨q)=?(p↓q)，?p=?(p∨p)=p↓p；

p∧q=??(p∧q)=?(p|q)，?p=?(p∧p)=p|p；

所以，{↓}和{|}都是功能完全集，也是最小的功能完全集。

在数学上，将F和T分别看做0和1，这样以来算术运算也就成了逻辑运算，例如：

p?q=p∧q

最后，结合数学运算，将一元和二元的所有逻辑运算汇总如下：

一元逻辑运算：

二元逻辑运算：

（好了，就写到这里了，以后想到了再补充！本篇力求简单，尽量不耗费各位的时间，希望大家有机会看到，希望看到的能喜欢！）

补充1：

大家看到蕴含p→q的真值表：

F→T=T，F→F=T

可能会差异。诚然，这和我们日常言语中的感觉不同，实际上，自然语言中的，“如果p那么q”含有逻辑推理的意思，其相当于：

{p,p→q}?q

这与p→q的语义并不相同。