数学建模在机械制造(自动扶梯制停距离关于负载的数学模型研究)

余仁辉李运泉钟其林冀光普

广东省特种设备检测研究院顺德检测院佛山528300

摘要：以刚体定轴转动定律为基础，建立加速度与负载的平衡式，求得自动扶梯系统的加速度关于负载的方程。进而利用运动学公式计算得出自动扶梯刹车距离关于其负载的数学模型。由于该模型的参数均是基于自动扶梯的制停试验所得，故使用该模型可准确地预测自动扶梯满负载工况下的制停距离，既可有效地评估自动扶梯的制停性能又大大地降低了检测成本。

中图分类号：TU857文献标识码：A文章编号：1001-0785（2020）14-0028-04

关键词：自动扶梯；刚体定轴转动定律；制停试验；制停距离的预测

0引言

随着社会现代化进程的发展，自动扶梯广泛应用于商场、地铁等公共场所，其发挥的作用越来越不可或缺。但是由自动扶梯所引发的事故时有发生，这引起了安全检测相关部门以及广大人民群众的关注[1]。

机械式制动系统是自动扶梯使用中动作最频繁的部件，决定着自动扶梯的安全性能。为保障自动扶梯的安全，需要测定自动扶梯的制停距离。自动扶梯的刹车距离是其安全性能的一个重要参数，其力学原理是利用制动器与闸瓦之间和扶梯系统各部件间的摩擦阻力将自动扶梯的所有运动部件和负载的惯性能量，以及负载下行时由重力势能所产生的动能消耗，使整个系统在规定的距离之内停止运动[2]。根据GB16899—2011《自动扶梯和自动人行道制造与安装安全规范》的规定，空载和带载下行自动扶梯的制停距离应符合表1的规定。

离要大于空载的制停距离[4]。因此，以空载制停距离来判定自动扶梯运送乘客时的安全性能，存在一定的漏洞，这就为自动扶梯埋下了安全隐患。故而，如何通过空载和部分负荷下行制停距离检测，来预测满负荷工况下的制停距离就显得尤为重要[5]。

为此，本文提出了一种基于测量数据的模型，该模型的建立可以准确预测以下两个变量。自动扶梯在不同载荷下的平均减速度（其中最重要的是100%载荷下的平均减速度），以及100%负载条件下的总停车距离。这不仅避免了满负荷重量测试，同时也大大提高了自动扶梯的安全水平，并使得质量测试和刹车验证的课题更加科学。

1模型理论基础

自动扶梯系统在安全装置抱闸或乘客紧急停止开关启动后，系统在制动器、系统自身及负载所产生的摩擦力和负载重力作用下，将系统的动能和重力势能转化为内能，系统受力平衡。

1.1基本原理

该模型的计算公式基于刚体定轴转动定律，即刚体所受的对于某定轴的合外力矩等于刚体对此定轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。

1.2受力分析

自动扶梯制停工况下，对自动扶梯进行受力分析，结果如图1所示。此外，所有变量（扭矩、转动惯量和角加速度）的计算均以高速轴（HSS，即电机轴）为定轴。自动扶梯的制动力矩、各部件的摩擦力矩和负载引起的摩擦力矩都会使扶梯减速，而扶梯负载的失衡扭矩将试图使扶梯加速。在以上和力矩的作用下，自动扶梯系统做减速运动，直至静止。

根据刚体定轴转动定律[6]，建立自动扶梯系统受力平衡方程式

式中：T制为制动器的平均制动扭矩；T空载-摩擦为自动扶梯系统中梯级带、扶手等部件间的摩擦所引起的扭矩；T负载-摩擦为由自动扶梯系统动负载所引起的摩擦力矩；T负载-失衡为自动扶梯系统负载所（即自动扶梯上的动载荷）引起的失衡扭矩；I空载为自动扶梯空载时，自动扶梯系统对转动轴的转动惯量；I负载为自动扶梯负载对转动轴（HSS）的转动惯量；α为高速轴的角加速度。

图1自动扶梯受力分析

为了更明确的表达自动扶梯加速度与负载m的关系，可将α、T负载-摩擦、T负载-失衡和I负载作如下表达。设d为步进链传动链轮的直径，r为有效减速比（减速器减速比和传动链减速比的乘积），则自动扶梯负载对转动轴的转动惯量为

式中：m为自动扶梯的总负载。

由自动扶梯负载所引起的失衡扭矩

式中：θ为自动扶梯的倾角（通常取30°），g为重力加速度（取9.81）。

电动扶动由负载所引起的摩擦扭矩

角加速度

用于推导其余三个量（T制、T空载-摩擦和I空载）的方程尚未给出，其根本原因是这些量需要通过实验得出。

1.3化简驱动链轮半径与有效减速比的商

在之前的分析中，驱动链轮半径与有效减速比的商是扭矩、转动惯量和加速度的重要参数。然而，在某些情况下，这些值可能并不总是已知的，同时由于自动扶梯结构复杂，驱动链轮半径和有效减速比也不容易测量。

为此以更容易取得的变量，即自动扶梯的线性额定速度v和驱动电机在额定速度下的转速n，推导驱动链轮半径与有效减速比的商。

2模型推导

首先以刚体定轴转动定律平衡式基础，建立自动扶梯的减速度与负载的数学模型；在此基础上，使用运动学公式，计算得自动扶梯的制停距离与负载的数学模型。其中，T负载-摩擦、T负载-失衡、α和I负载均已用负载m、扶梯速度v和电机转速n进行表达。分量T空载-摩擦、T制和I空载需要通过额定速度空载、摩擦停车、轻滑和部分负荷质量测试试验来确定，并用测定的参数（电梯加速度a、电梯额定功率P和电梯倾斜角度θ）来表达。

2.1自动扶梯系统减速度数学模型的推导

2.1.1一般式

将式（3）~式（6）代入式（2）中，得到一般情况下的最终方程

将式（8）代入式（9）中，得到以自动扶梯的线性额定速度v和驱动电机在额定速度下转速n的方程，如式（10）所示。

2.1.2相关参数的确定

以下试验均使用数据采集单元（例如eva625）在台阶或扶手上使用手持式转速表轮记录自动扶梯的速度—时间曲线。

通过额定速度空载试验测定T空载-摩擦的值。当自动扶梯以额定速度空载运行时，电机所做的功转化为电梯系统摩擦产生内能。即

式中：n为自动扶梯以额定速度运行时电机的转速。国内外对空载自动扶梯所消耗的能量进行了大量研究[7]，研究表明空载自动扶梯所消耗的功率

式中：P是自动扶梯在额定速度和空载时所消耗的功率，r是自动扶梯上升高度。

通过摩擦停止试验测得I空载的值。当两个机械制动器不作用时，以额定速度运行的空载自动扶梯在其自身摩擦力作用下制停。该运动状态提供了空载自动扶梯系统的等效转动惯量。

即，m=0，T制=0，式（10）可化简为

式中：P为自动扶梯空载时，所消耗的功率；a0为自动扶梯空载制停时，自动扶梯在自身系统摩擦力矩作用下，所产生的减速度。

通过利用空载停车（亦可称为“轻滑”试验）测得T制的值。当自动扶梯以空载额定速度运行，在机械制动器的作用下制停，此时，自动扶梯在系统自身摩擦力和制动器作用力共同作用下制停。

即m=0时，将式（13）和式（15）代入式（10），可得

式中：a1为自动扶梯空载状态，在制动器作用下制停时自动扶梯的减速度。

2.1.3加速度关于负载的数学模型

将式（13）、式（15）和式（16）代入式（10），可得

2.2自动扶梯制停距离模型的建立

根据以上参数的确定，当负载m已知时，可利用运动学公式计算得出制停距离

其中，参数μ可以通过部分负载（如25%负载）制停试验测定。

3结论

该数学模型的建立，不仅可以预测自动扶梯在不同载荷下的平均减速度，而且可以准确地预测满负载条件下的制停距离；这不仅避免了满负荷重量测试的工作量，同时也将大大提高自动扶梯的安全水平，并使得质量测试和刹车验证的课题更加科学严谨。但是，文中自动扶梯的摩擦系数μ为定值的假设与实际情况有一定的出入，还需进一步对其进行修正。

参考文献

[1]吴尽.从扶梯事故看自动扶梯安全装置的设置[J].起重运输机械,2012(5):91，92.

[2]刘志福.浅谈自动扶梯和自动人行道自动距离的计算[J].现代制造技术与装备,2019(5):63，64.

[3]吴常坤.自动扶梯空载下行制停距离范围分析[J].中国特种设备安全,2016,32(10):27-29，51.

[4]Al-SharifL.AssetManagementofPublicServiceEscalators.ElevatorWorld1999;47(6):96-102.

[5]程哲,洪伟,阮一晖.基于ARM微处理器的自动扶梯制停距离检测研究[J].起重运输机械,2011(11):96,97.

[6]韩可芳.关于刚体定轴转动定律[J].华中师范大学学报(自然科学版),1988(1):121-123.

[7]Al-SharifL.ModellingofEscalatorEnergyConsumption[J].Energy&Buildings，2011，43(6):1382-1391.